Soustracteur

De l'addition à la soustraction

Nous savons maintenant additionner avec un circuit. Pour soustraire, on pourrait inventer un tout nouveau circuit, avec des "emprunts" à la place des retenues. Mais il existe une idée bien plus économique : transformer la soustraction en addition. En effet, soustraire, c'est ajouter l'opposé :

\[a - b = a + (-b)\]

Il suffit donc de savoir représenter -b en binaire. C'est exactement ce que permet le complément à deux, que vous avez rencontré en 1ère année.

Le complément à deux

Sur n bits, le complément à deux code un nombre négatif -b par la valeur \(2^n - b\). En pratique, on n'a pas besoin de faire cette soustraction : on obtient -b en deux gestes simples :

1. inverser tous les bits de b (remplacer chaque 0 par 1 et inversement) : c'est le rôle de la porte NON, et on le note ¬b ;

2. ajouter 1 au résultat.

Prenons b = 3, soit 0011 sur 4 bits :

b        = 0011   (3)
¬b       = 1100   (on inverse chaque bit)
¬b + 1   = 1101   (on ajoute 1)  ->  -3

Le motif 1101 représente donc -3. On peut le vérifier : ajouté à 0011 (3), il doit donner 0 (sur 4 bits). Et c'est bien le cas, 0011 + 1101 = 10000, dont seuls les 4 bits de droite comptent : 0000.

Important

Pour obtenir -b en complément à deux : on inverse tous les bits de b (¬b), puis on ajoute 1.

Note

Sur n bits, le complément à deux représente les entiers de \(-2^{n-1}\) à \(2^{n-1} - 1\). Sur 4 bits, cela va donc de 1000 (\(-8\)) à 0111 (\(+7\)) ; sur 8 bits, de \(-128\) à \(+127\). L'intervalle est asymétrique : il y a toujours un négatif de plus que de positifs, car le motif 0…0 occupe une des places positives.

Soustraire, c'est additionner

En remplaçant -b par ¬b + 1 dans notre égalité de départ, on obtient la formule clé du soustracteur :

\[a - b = a + \neg b + 1\]

Autrement dit, pour calculer a - b, il suffit de reprendre le même additionneur que dans le chapitre précédent, et de lui fournir :

• a tel quel ;

• ¬b, c'est-à-dire chaque bit de b inversé par une porte NON ;

• une retenue entrante Cin égale à 1, qui réalise le + 1.

Voici par exemple 7 - 2 posé de cette façon :

retenues   1 1 1
           0 1 1 1    ( a = 7 )
         + 1 1 0 1    ( ¬b, avec b = 2 )
         +       1    ( Cin = 1 )
           -------
        (1) 0 1 0 1    ( résultat : 5 )

Le résultat sur 4 bits est 0101, soit 5 : on a bien 7 - 2 = 5. La retenue sortante (1) déborde et n'est pas conservée.

Le circuit

Il ne reste plus qu'à câbler cette idée. On reprend la chaîne d'additionneurs complets du chapitre précédent, on inverse chaque bit de b avec une porte NON, et on fixe la première retenue entrante à 1.

Un soustracteur 4 bits : les additionneurs complets sont inchangés, seuls ¬b et Cin = 1 diffèrent de l'additionneur.

Le circuit est donc presque identique à l'additionneur : les additionneurs complets ne changent pas du tout, on ajoute simplement quatre portes NON et on force Cin = 1.

Astuce

La retenue sortante Cout renseigne sur le signe du résultat (en non signé) : elle vaut 1 quand a ≥ b (le résultat est positif, il n'y a pas eu d'emprunt) et 0 quand a < b (le résultat est négatif, écrit en complément à deux).

Un circuit qui additionne et soustrait

On peut aller un cran plus loin. Remarquons qu'une porte XOR se comporte comme un inverseur commandé : b ⊕ 0 = b (on ne change rien) mais b ⊕ 1 = ¬b (on inverse). En remplaçant les portes NON par des portes XOR pilotées par un même signal de commande M, et en reliant aussi M à la retenue entrante, on obtient un circuit qui additionne quand M = 0 et soustrait quand M = 1.

Voyons d'abord cet inverseur commandé isolément. Dans la démonstration ci-dessous, cliquez sur M : quand M = 0, la sortie recopie b ; quand M = 1, elle l'inverse.

L'additionneur-soustracteur : le signal M inverse b (via les XOR) et fixe la retenue entrante. M = 0 additionne, M = 1 soustrait.

Quand M = 0, chaque XOR laisse passer b inchangé et Cin = 0 : le circuit additionne. Quand M = 1, chaque XOR inverse b en ¬b et Cin = 1 : on retrouve exactement le soustracteur a + ¬b + 1. C'est précisément la brique dont nous aurons besoin pour construire l'unité de calcul du processeur.

Exercices

Exercice 22

Donnez le complément à deux sur 6 bits, c'est-à-dire la représentation de -b, pour chacune des valeurs suivantes. Détaillez les deux étapes (¬b puis + 1).

1. b = 20

2. b = 13

3. b = 25

4. b = 32

Solution

1. 20 = 010100, ¬b = 101011, puis 101011 + 1 = 101100 : c'est -20.

2. 13 = 001101, ¬b = 110010, puis 110010 + 1 = 110011 : c'est -13.

3. 25 = 011001, ¬b = 100110, puis 100110 + 1 = 100111 : c'est -25.

4. 32 = 100000, ¬b = 011111, puis 011111 + 1 = 100000 : c'est -32. Sur 6 bits, -32 est la plus petite valeur représentable, et son motif est son propre complément à deux.

Exercice 23

Effectuez les soustractions suivantes sur 4 bits, en passant par l'addition a + ¬b + 1. Donnez le résultat en binaire, puis en décimal.

1. 7 - 4

2. 4 - 7

3. 5 - 5

Solution

1. 0111 + 1011 + 1 = 10011, soit 0011 sur 4 bits : 3. La retenue sortante vaut 1 (résultat positif).

2. 0100 + 1000 + 1 = 1101, soit 1101 : c'est -3 en complément à deux. La retenue sortante vaut 0 (résultat négatif).

3. 0101 + 1010 + 1 = 10000, soit 0000 : 0, comme attendu.

Exercice 24

On applique a = 6 (0110) et b = 2 (0010) au soustracteur.

1. Quelles valeurs arrivent réellement sur les entrées des additionneurs, après les portes NON ? Que vaut la retenue entrante ?

2. Donnez la sortie s (en binaire et en décimal) ainsi que la retenue sortante Cout, et interprétez cette dernière.

Solution

1. Les portes NON transforment b = 0010 en ¬b = 1101. La retenue entrante vaut Cin = 1.

2. 0110 + 1101 + 1 = 10100, soit 0100 sur 4 bits : s = 4. On a bien 6 - 2 = 4. La retenue sortante vaut Cout = 1, ce qui confirme que a ≥ b et que le résultat est positif.

Exercice 25

Dans le simulateur ci-dessous, transformez un additionneur 4 bits en soustracteur a - b. Les quatre « Additionneur complet » sont déjà en ligne (comme sur le schéma), avec a et b au-dessus et s en dessous. Rappel : a - b = a + ¬b + 1. Ajoutez donc une porte NON sur chaque b, reliez a directement à son additionneur, et forcez la première retenue entrante (à droite, celle de a0) à 1 avec une entrée réglée sur 1. Chaînez ensuite les retenues et reliez les sorties. Testez sur 6 - 3, 4 - 7 et 5 - 5 : le résultat est en complément à deux.